1 Teorija skupova

1.1 Neki značajni skupovi

• Skup prirodnih brojeva ℕ = {0, 1, 2, 3, …}

• Skup celih brojeva ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

• Skup racionalnih brojeva ℚ = \{\frac{p}{q}|p ∈ ℤ, q ∈ ℕ\}, tj.

ℚ = \{\frac{p}{q}|p ∈ ℤ, q ∈ ℕ\} (koristimo \displaystyle), tj.

  ℚ = \{\frac{p}{q} | p ∈ ℤ, q ∈ ℕ\} (koristimo \displaystyle i \hspace\{1mm\}|\hspace\{1mm\})

• Skup realnih brojeva ℝ ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ

1.2 Operacije sa skupovima

• Unija A ∪ B

• Presek A ∩ B

• Razlika A \ B

• Komplement A^{c}

1.3 Ješćemo korijenje

Uh, već je tri sata. Brzo mi dajte logaritamske tablice da izvadim koren, pa da se ruča. (R. Bojičić?)

\sqrt[n]{12254} =? \sqrt{16} = 4, \sqrt[3]{125} = 5

1.4 Sume

Bez makroa:

• $$\sum_{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}$$ proizvodi

∑_{i=1}^{n} x_{i} = x_{1} + x_{2} + … + x_{n}

• $$\prod_{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot{}x_{2}\cdot{}\ldots\cdot{}x_{n}$$

proizvodi

∏_{i=1}^{n} x_{i} = x_{1} · x_{2} · . . . · x_{n}

Sa makroima:

• $$\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\nizsep{x}{n}{+}$$ proizvodi

∑_{i=1}^{n} x_{i} = x_{1} + x_{2} + … + x_{n}

• $$\prod_{i=1}^{n}x_{i}=\nizsep{x}{n}{\cdot}$$ proizvodi

∏_{i=1}^{n} x_{i} = x_{1} · x_{2} · . . . · x_{n}

\displaystyle pravi lepše sume i proizvode

∑_{i=1}^{n} x_{i} = x_{1} + x_{2} + … + x_{n}

∏_{i=1}^{n} x_{i} = x_{1} · x_{2} · . . . · x_{n}

1.5 Apsolutna vrednost

|x| = \{ \begin{matrix}x, & x ≥ 0 \\ −x, & x < 0 \end{matrix}

1.6 Velike zagrade

Matrice

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )

Determinante

A = | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} |

1.7 Sume stepena

align:

1 + 2 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2}  (1)
1^{2} + 2^{2} + … + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}  (2)

eqnarray:

1 + 2 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2}  (3)
1^{2} + 2^{2} + … + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}  (4)

2 Geometrija

2.1 Vektori

Vektori: \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} Skalarni i vektorski proizvod: \overrightarrow{u} · \overrightarrow{v} i \overrightarrow{u} × \overrightarrow{v}

Intenzitet (norma) vektora \overrightarrow{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) je broj ∥\overrightarrow{u}∥ = \sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}}

2.2 Trougao

Zbir uglova u trouglu: α + β + γ = 180^{∘}, odnosno α + β + γ = π Podudarnost: △ABC ≅ △DEF

2.3 Trigonometrija

sin^{2} x + cos^{2} x = 1
cos^{2} x − sin^{2} x = cos 2x
tan x = \frac{sin x}{cos x}
tg x = \frac{sin x}{cos x}
tan x cot x = 1
tg x ctg x = 1

3 Kombinatorika

Neka je A konačan skup. Broj elemenata skupa A označavaćemo sa |A|.

3.1 Dekartov proizvod

Konačan niz elemenata (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) (tj. skup elemenata kod koga se tačno zna koji je element prvi, drugi,…, n-ti po redu) naziva se (ured¯ ena) n-torka. Specijalno, za n = 2, 3, 4, … u pitanju je ured¯ eni par, odnosno ured¯ ena trojka, odnosno ured¯ ena četvorka itd.

Neka su A_{1}, A_{2}, …, A_{n} konačni skupovi. Dekartov proizvod skupova A_{1}, A_{2}, …, A_{n} (u oznaci A_{1} × A_{2} × ⋯ × A_{n} definiše se na sledeći način:

A_{1} × A_{2} × ⋯ × A_{n} = {(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}|x_{1} ∈ A_{1}, x_{2} ∈ A_{2}, …, x_{n} ∈ A_{n}}

U slučaju kada je A_{1} = A_{2} = … = A_{n} = A, umesto oznake A_{1}×A_{2}×⋯×A_{n} koristimo oznaku

A^{n} = \underbrace{A × A × … × A}_{n puta}

Neka je Σ azbuka i d ≥ 0. Ako se azbuka Σ sastoji od n slova, tada je broj niski nad azbukom Σ dužine d jednak n^{d}. Dakle, važi

|Σ^{d}| = |Σ|^{d}.

Skica dokaza:

• Postoji samo jedna prazna reč. Dakle,

|Σ^{0}| = |{ε}| = 1 = |Σ|^{0};

• Svako slovo može da se poistoveti sa niskom dužine 1. Stoga niski dužine 1 ima onoliko koliko ima slova, tj.

|Σ^{1}| = |Σ| = |Σ|^{1};

• Sve niske dužine d+1 mogu se dobiti tako što se na svaku nisku dužine d dopiše svako pojedinačno slovo. Stoga broj niski dužine d + 1 predstavlja proizvod broja niski dužine d i broja slova azbuke. Dakle,

|Σ^{d+1}| = |Σ^{d}| · |Σ|.

Odatle sledi (koristimo $$)

|Σ^{2}| = |Σ^{1}| · |Σ| = |Σ| · |Σ| = |Σ|^{2},

|Σ^{3}| = |Σ^{2}| · |Σ| = |Σ|^{2} · |Σ| = |Σ|^{3},
|Σ^{4}| = |Σ^{3}| · |Σ| = |Σ|^{3} · |Σ| = |Σ|^{4}
…

odnosno (koristimo align)

|Σ^{2}| = |Σ^{1}| · |Σ| = |Σ| · |Σ| = |Σ|^{2}.  (5)
|Σ^{2}| = |Σ^{2}| · |Σ| = |Σ|^{2} · |Σ| = |Σ|^{3}.  (6)
|Σ^{2}| = |Σ^{3}| · |Σ| = |Σ|^{3} · |Σ| = |Σ|^{4}  (7)
…  (8)

Strog dokaz se izvodi korišćenjem principa matematičke indukcije. Kodiranje je funkcija oblika f : O ⟶ Σ^{+}

3.2 Kombinatorne konfiguracije

3.2.1 Varijacije sa ponavljanjem Broj varijacija sa ponavljanjem k-te klase od n elemenata je V̄_{k}^{n} = n^{k}.

3.2.2 Varijacije bez ponavljanja

Broj varijacija bez ponavljanja k-te klase od n elemenata je V_{k}^{n} = \underbrace{n(n − 1) ⋯ (n − k + 1)}_{k činilaca} .

Specijalan slučaj varijacija bez ponavljanja predstavljaju permutacije bez ponavljanja.

3.2.3 Permutacije bez ponavljanja P^{(n)} = V_{n}^{n} = n(n − 1) ⋯ 1 = 1 · 2 ⋯ n Broj n(n − 1) ⋯ 1 = 1 · 2 ⋯ n označavaćemo sa n!. Dakle, P^{(n)} = n!.

0! =^{def} 1

3.2.4 Kombinacije bez ponavljanja Broj kombinacija bez ponavljanja k-te klase od n elemenata je

( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) = \frac{n!}{k!(n − k)!} = \frac{\overbrace{n(n − 1) ⋯ (n − k + 1)}^{k činilaca}}{\underbrace{k(k − 1) ⋯ 1}_{k činilaca}}

4 Iskazni račun

4.1 Operacije sa iskazima

∧ ⊤ ⊥ ∨ ⊤ ⊥
⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥
⇒ ⊤ ⊥ ⇔ ⊤ ⊥
⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥
⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤

¬ / (⊤ ⊥)

⊥ ⊤

Sadržaj

1 Teorija skupova 1 1.1 Neki značajni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Ješćemo korijenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.4 Sume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.5 Apsolutna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.6 Velike zagrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.7 Sume stepena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Geometrija 3 2.1 Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Trigonometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Kombinatorika 4 3.1 Dekartov proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2 Kombinatorne konfiguracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2.1 Varijacije sa ponavljanjem . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2.2 Varijacije bez ponavljanja . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2.3 Permutacije bez ponavljanja . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2.4 Kombinacije bez ponavljanja . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Iskazni račun 6 4.1 Operacije sa iskazima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6